📐 二次函数图像可视化（紧凑布局 v3.0）

抛物线 顶点 与 x 轴交点 与 y 轴交点 ┊ 蓝色虚线 = 对称轴

🎛️ 滑块调节（拨动看图像）

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📊 实时计算

一般式：
顶点式：
顶点：
对称轴：
开口方向：
判别式 Δ = b²−4ac：
根的情况：
与 x 轴交点：
与 y 轴交点：
韦达验证：

📚 核心公式速查

顶点坐标 (-b/(2a), (4ac−b²)/(4a))
对称轴 x = -b/(2a)
判别式 Δ = b² − 4ac
韦达定理 x₁ + x₂ = -b/a
x₁ · x₂ = c/a
根的判别 Δ > 0：两个不等实根
Δ = 0：两个相等实根
Δ < 0：无实根
顶点式 y = a(x − h)² + k
顶点 (h, k)
根与系数变形 x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂
1/x₁ + 1/x₂ = (x₁+x₂)/(x₁x₂)
(x₁−x₂)² = (x₁+x₂)² − 4x₁x₂

🎯 核心知识点速记

① a 的作用
a > 0：开口向上；a < 0：开口向下
|a| 越大，图像越"瘦"（开口越小）
② c 的作用
与 y 轴交点为 (0, c)
c 决定图像上下平移
③ b 的作用
对称轴 x = -b/(2a)
b 决定对称轴左右位置
④ 顶点决定开口最小值/最大值
开口向上：顶点是最低点
开口向下：顶点是最高点
⑤ 与 x 轴交点 = 方程的根
令 y=0，解 ax²+bx+c=0
几个交点 ⇔ 几个实根 ⇔ Δ 的符号
⑥ 二次函数平移规律
y = ax² → y = a(x−h)²+k
顶点从 (0,0) 移到 (h,k)
⑦ 根的符号判断
x₁x₂ > 0 且 x₁+x₂ > 0：两根都正
x₁x₂ > 0 且 x₁+x₂ < 0：两根都负
x₁x₂ < 0：一正一负
⑧ 常见易错点
• 公式法注意 −b（不是 b）
• x² = 9 → x = ±3（漏写 ± 必错）
• 应用题验根（不能为负）
• 韦达定理前提 Δ ≥ 0
💡 一句话总结：一元二次方程核心是 判别式（根有几个）和 韦达定理（根与系数关系）； 二次函数核心是 开口 / 对称轴 / 顶点 三要素 + 与 x 轴交点。两者本质相连，压轴题常在这两者之间切换考查。